بخش دو
به استاد فقید: پروفسور هشترودی
فضای چهار بعدی دوایر
علیرضا امیر معز
حاصل ضرب عددی دو بردار را استاد فقید پروفسور هشترودی به حاصل ضرب عددی دو دایره تعمیم داد و مورد استعمال آن را در هندسه دوایر و خطوط مشروح کرد [۱]. این موضوع بسیار جالب و مفید به انگلیسی زبانان هم معرفی شد [۲]. اکنون در این مختصر خواص پایای این حاصل ضرب را بررسی میکنیم. سپس نشان میدهیم که مجموعه دوایر و خطوط صفحه یک فضای چهار بعدی خطی تشکیل میدهد که حاصل ضرب عددی دوایر همان حاصل ضرب برداری آن است.
- حاصل ضرب عددی دو دایره: فرض میکنیم که
….
معادله دایرهای به شعاع … باشد. در این معادله وقتی … را صفر بگیریم یک خط مستقیم بدست میاید. از این معادله (۱) نمایش یک دایره یا یک خط است. اکنون دو دایره … و … را به ترتیب به معادلات زیر در نظر میگیریم:
…..
فرض کنیم که شعاعهای … و … به ترتیب … و … باشد. آنگاه حاصل ضرب عددی یا داخلی … و … را چنین تعریف میکنیم
….
که در آن … زاویه بین دو دایره است. جزئیات را به خواننده واگذار میکنیم که به [۱] مراجعه کند. زاویه .. زاویهای است جهت دار. هرگاه مقدار (… و …) را به حسب ضرائب حساب کنم، نتیجه میشود که:
…
از این حاصل ضرب داخلی نتیجه میشود که مقدار (…) دایره (۱) عبارت است از:
….
مقدار بالا به حقیقت (…) است چون دوایر ایزوتروپ بوجود میاید به این معنی که دایرهای که صفر نیست ممکن است مقدار آن صفر باشد، مثل:
…
البته این دایره مجازی است. خواننده میتواند به اسانی نشان دهد هنگامی که ... به سمت صفر میل کند مقدار … به سمت بینهایت میل میکند و باز مقدار … دارای معنی است، یعنی:
…
البته در این حالت حاصل ضرب عددی دو دایره (دو خط) به حاصل ضرب عددی بردارهای عمود بر دو خط بدل میشود.
2. پایایی حاصل ضرب دو دایره تحت انتقال: استاد فقید پروفسور ماک دافی ثابت کرد که حاصل ضرب ( ، ) بخش ۱ تحت انتقال ثابت میماند و سوال کرد که چه تبدیلهای دیگری این حاصل ضرب را ثابت نگاه میدارد.
برهان: فرض میکنیم که … و … دوایر بخش ۱ باشند معادلات انتقال
…
را در نظر میگیریم. ملاحظه میشود که (۱) بخش ۱ پس از انتقال میشود.
….
هرگاه مقدار … و … را در نظر بگیریم و ( و ) حساب کنیم دوباره میشود:
3. پایایی حاصل ضرب دوایر تحت داوران: دوباره دوایر … وس … بخش یک را در نظر میگیریم. معادلات دوران در صفحه بطور کلی میشود:
…
به اسانی ملاحظه میشود که پس از دورن معادله … بخش یک چنین میشود:
دوباره فرض میکنیم که … و … مبدلهای … و … باشند. ملاحظه میشود که:
- تاثیر انعکاس: دایره … بخش یک و انعکاس زیر را در نظر میگیریم:
…
ملاحظه میشود که مبدل … چنین میشود:
…
از اینرو
…
هر گاه … را … بگیریم ( ،) ثابت میماند.
هنوز این سوال باقی میماند: بطور کلی تحت چه تبدیلاتی مقدار ( ، ) ثابت میماند؟ آیا این تبدیلات منحصر به آنهائی بخشهای ۲، ۳، ۴ است؟
- فضای چهار بعدی دوایر: دایره … بخش یک را دوباره در نظر میگیریم ملاحظه میشود که … را چنین میتوان نوشت
…
عناصر زیر را مبنا میگیریم
…
ملاحظه میشود که … ترکیبی خطی از …. در این میانه … دایرهای است موهومی. خواننده میتواند به اسانی ثابت کند که مجموعه دایره ها فضایی برداری روی اعداد حقیقی تشکیل میدهند. هر گاه … را به فرم زیر در نظر بگیریم
…
حاصل ضرب … چنین میشود
…
که فرقش با حاصل ضرب برداری معمولی علامت منها (-) در جمله اول است امتحان این مطلب را به خواننده واگذار میکنیم.
- تبدیلات روی فضای دایره ها: در یک فضای برداری بین تبدیلات هندسی، انتقال و انعکاس خطی نیستند. ولی هر گاه فضای دایرهها را بکار بریم این تبدیلات خطی میشوند. ابتدا انتقال را بررسی میکنیم. فرض کنیم که:
… لذا
…. دایره … بخش ۱ را در نظر میگیریم.
…
چون … ترکیبی خطی از … است مبدل آن نیز ترکیبی خطی از عناصر مبنا خواهد بود.
…
لذا انتقال دارای ماتریس است که میشود
…
اکنون انعکاس را بررسی میکنیم
ملاحظه میشود که:
…
بنابر این ماتریس انعکاس میشود
…
بررسی تبدیلات دیگر را به خواننده واگذار میکنیم.
مراجعات
- محسن هشترودی: هندسه دوایر
- ….
دکتر علیرضا امیر معز استاد ریاضی دانشگاه تک تکزاس آمریکا، پس از سی سال اقامت در آمریکا و تدریس در دانشگاههای آنجا، سال تحصیلی جاری به دعوت دانشگاه تهران برای تدریس به ایران آمده است. در جلسهای که از طرف مجله یکان به افتخار دکتر امیر معز در باشگاه دانشگاه تهران برگزار شده بود و در آن جمعی از استادان و آشنایان ایشان شرکت داشتند، پروفسور هشترودی نیز وعده داده بودند که شرکت خواهند کرد اما به علت کسالتی که در روز موعود گریبانگیر ایشان شد نتوانستند در جلسه حضور یابند.
هیچ نظری موجود نیست:
ارسال یک نظر