بخش ۳
بنیان ریاضیات جدید
(بخش نخست این مقاله از دکتر هشترودی، ابتدا در مجله یکان شماره یک (بهمن ۲۵۲۲)، سپس همه مقاله در مجموعه علمی یکان سال (فروردین ۲۵۲۴) چاپ شده است)
ریاضیات هر عصر آینه تمدن آن است. پیشرفتهای فنی و صنعتی و علمی و هنری هر قرنی را از دید جهان بینی ریاضی آن میتوان دریافت.
تاریخ تحول فرهنگ ها و تجدد اندیشه با تاریخ پیشرفت ریاضی همزمان است.
در این قرن که پیشرفت های تجربی در علوم طبیعی و زیست شناسی و تکامل علوم مشاهدهای همچون هیئت و کیهان شناسی به کمک دانش های موجی بررسیهای علمی دور و دراز را امکان پذیر ساخته است، دانش ریاضی در مقام معرفتی قیاسی و استدلالی محض به جایی منجر شده است که ریاضیات مجرد یعنی بدون توسل به بررسی نمونه بندیهای دانشهای بشری معرفی گردیده است و از سوی دیگر تکامل منطق ریاضی و علم جدید سمانتیک فکر مجرد را فارغ از کیفیت بین و گفتار به تحقیق و تجسس گذاشته و بیان علوم مجرد دیگر را پی ریزی کرده است.
در این مقاله مختصر اشاره اجمالی به کیفیت تحول اندیشه ریاضی، خصوصا در قرن بیستم، صورت میگیرد که خوانندگان گرامی اطلاعاتی کم و بیش گسترده در این مورد پیدا کنند.
اساس پیریزی ریاضیات مجرد از نظریه مجموعهها شروع میشود. این نظریه که کم یا بیش در قرن هجدهم مورد توجه قرار گرفته بود در اواخر قرن نوزدهم و در ابتدای قرن بیستم اندیشه ریاضیدانان را به خود مشغول داشت و هماهنگی و پیوستگی منطق و ریاضیات را روشن کرد. مبانی این نظریه، بعدها با کلیاتی دیگر که در دانش ریاضی همواره محتاج الیه است، سرانجام مکتب استدلالی ریاضی را بنیان گذشت.
تارزاتی که در نظریه مجموعهها پیش آمد توجه متفکران را به وجود این قبیل تعارضات در منطق جلب کرد و هماهنگی بین منطق و ریاضیات (نظریه مجموعهها و طبقات) به بنای علم سمانتیک منجر گردید.
برای روشن شدن مطلب بر سیاق پیشرفت تاریخی، از پیدایش نظریه مجموعه ها و وجود تعارضهای منطقی گفتگو میکنیم تا سرانجام به وضع و استقرار ریاضیات مجرد کنونی هدایت شویم.
دسته بندی و اجتماع افرادی در یک طبقه همواره به صورت دلخواه ممکن است، اما مجموعهای که به این صورت بدست میاید مجموعهای نامشخص و کم یا بیش مبهم است. با تعریفی خاص که شامل کلیه افراد مجموعه گشته و افراد غیر عضو را خارج سازد، میتوان مجموعه را مشخص و معین کرد (توجه شود که در این بره تعریف منطقی جامعه و مانع ضروری نیست، هر تعریفی که نتیجه را متضمن باشد کفایت میکند و چنین تعاریفی معادلند). پیدا است میتوان مجموعههایی تعریف کرد که به ظاهر خود مجموعه نیز از افراد مجموعه باشد.
مثلا اگر مجموعه کلیه نامهای زبان فارسی را تشکیل دهیم و به این مجموعه نامی دهیم چنین به نظر میرسد که خود مجموعه عضو مجموعه است. بیشتر تعارضات منطقی در نظریه مجموعهها از این نقطه شروع میشود. رفع چنین مشکلاتی که اکنون خیلی عادی است در بادی امر موجب مشکلاتی برای ریاضیدانان بود که غلبه بر آن ممتنع مینمود.بعدها روشن شد که این قبیل تعارضات به حوزه ریاضی منحصر نیست و در حوزه منطق نیز روی میدهد. من باب مثال چند مورد از این تعارضات در حوزه منطق در اینجا ذکر میشود.
اول تعارض حکم منفرد – این تعارض را از قدیم شناخته اند و از ارسطو منقول است.
غیاث الدین جمشید کاشانی میگوید که کاشانیان دروغ گویند. بدیهی است که این حکم موجب دور میگردد، چه این قول از طرف یک کاشانی گفته شده است، پس مشمول خود حکم میگردد و آن جمله صحیح نیست یعنی کاشانیان راستگویند. و چون گوینده کاشانی است حکم صحیح خواهد بود و دور بارز میگردد.
باید متوجه بود که در حقیقت این حکم منفرد نیست و از دو حکم تشکیل شده است: الف- غیاث الدین جمشید اهل کاشان است. ب- او مدعی است که کاشانیان دروغ گویند. تعارض از این جهت پیدا میشود و موجب دور میگردد که دروغ، گروه تشکیل نمیدهد، چه دروغ دروغ معادل راست است نه دروغ، اگر غیاث الدین جمشید کاشانی میگفت کاشانیان راستگویند، تعارضی رخ نمیداد، چه راست راست معادل راست است و گروه تشکیل میدهد.
دوم تعارض احکام مستند بر تعریف – برای هر عدد میتوان هم تعریفی ریاضی ذکر کرد و هم تعریف دیگری داد که بی آنکه ریاضی باشد آن عدد را مشخص کند. مثلا عدد (الف) را چنین تعریف میکنیم: کوچکترین عددی که تعریف آن کمتر از ده کلمه لازم داشته باشد. بدیهی است عددی که با کمتر از ده کلمه تعریف میشوند مجموعهای تشکیل میدهند (محدود یا نامحدود) که بین آنها، با مقایسه، کوچکترینشان را تعیین میکنیم و عدد الف مشخص میگردد. فی المثل عدد پی چنین تعریف میشود: نسبت محیط دایره به قطر آن. این جمله یا (حکم) شش کلمه دارد، یعنی حکمی است که از ده کلمه کمتر است، پس عدد پی از این قبیل اعداد است. همچنین عدد ۹ (تعداد سیارات منظومه شمسی) چون حکم تعداد سیارات منظومه شمسی کمتر از ده کلمه دارد از این احکام است. اگر به همین دو عدد قناعت شود، عدد الف عدد پی خواهد بود که از دو عدد ۹ و پی کوچکترین آنها است. به هر حال اگر تعاریف دیگری نیز برای عددی از این قبیل ذکر شود، همواره میتوان عدد الف را مشخص ساخت.اکنون ملاحظه میکنیم که عدد الف خود با جمله کوچکترین عددی که تعریف آن کمتر از ده کلمه لازم داشته باشد تعریف شده است که دوازده کلمه دارد. اینجاست که تعارض رخ میدهد، زیرا عدد الف باید با جمله ای (یا حکمی) که کمتر از ده کلمه داشته باشد تعریف شود، یعنی بنا به مدلول تعریف فوق عدد الف وجود دارد و بنا بر صورت حکم این عدد جز مجموعه اعدادی که به موجب این تعریف مشخص میشوند نمیباشد. با کمی توجه میتوان دریافت که مجموعه اعدادی که تعریف آنها کمتر از ده کلمه لازم داشته باشد یک رشته عدد است (محدود یا نامحدود، از نظر تعداد) و تعریف عدد الف در واقع چنین است. کوچکترین عدد این مجموعه و در این صورت تعارضی در کار نخواهد بود، چه حکم اخیر کمتر از ده کلمه دارد. در نظریه مجموعه ها این تعارضها قبلان مشهود شده بود و تعلق آنها به حوزه منطق بعدا روشن شد. مبنا و پایه منطق ریاضی بر اساس حساب احکام و قضایا و حساب طبقات است. اگر بین افراد مجموعه ای (محدود یا نامحدود) روابطی به قسمی وجود داشته باشد که حاصل به کار بستن این روابط برای دو فرد آن مجموعه فرد دیگری از مجموعه را به دست دهد، آن مجموعه را یک سازمان مینامند. مثلا اگر مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع را در نظر بگیریم چون مجموع دو عدد صحیح نیز عددی صحیح است، مجموعه اعداد صحیح را با عمل جمع یک سازمان مینامند.بی آنکه بر کلیت سازمان در ریاضیات اشاره ای شود، به همین مختصر اکتفا و به تعادل این سازمان با سازمان حاصل از مجموعه اعداد صحیح با عمل ضرب قناعت میکنیم، چه مجموعه اعداد صحیح با عمل ضرب نیز یک سازمان تشکیل میدهد. (در عمل جمع سازمان اول، عدد صفر عنوان واحد دارد، چه افزودن آن به هر عددی آن عدد را محفوظ نگاه میدارد. اما در عمل ضرب سازمان دوم، همین عنوان را عدد یک دارد، چه ضرب کردن در هر عددی، آن عدد را محفوظ نگاه میدارد.) ممکن است در سازمانی دو رابطه بین افراد مجموعه، قابل تصور باشد (مانند مجموعه اعداد صحیح و اعمال جمع و ضرب)، در این صورت چنین سازمانی را حلقه مینامند. تعادل بین حلقهها با سازمان دو گانه جمع و ضرب همواره محقق است. سازمان معادل با رابطه جمع را مدول و سازمان معادل با عمل ضرب را گروه مینامند. به این ترتیب حلقه در حقیقت سازمانی است که هم مدول و هم گروه باشد. هیئت اعداد مجموعهای است که حاصل اعمال چهار گانه اصلی حساب درباره افراد آن، آن مجموعه را محفوظ نگاه دارد (جز عمل تقسیم بر صفر مدول که استثنا میشود). مثلا مجموعه اعداد گویا یک هیئت اعدادی تشکیل میدهد، چه حاصل چهار عمل اصلی درباره اعداد گویا عددی گویا است. مجموعه اعداد موهوم نیز یک هیئت اعداد است. اگر عددی موهوم را که اجزائ حقیقی و موهومی آن اعداد صحیح اند عدد موهوم صحیح بنامیم، مشاهده میشود که مجموعه اعداد موهوم صحیح هیئت اعداد نیست و بلکه تنها حلقه است. بدین قسم سازمانهای اصلی نمونه بندی ریاضی عبارت است از: مدول که به آن گروه جمعی نیز گفته میشود و همچنین گروه که مراد گروه ضربی است و به طور خلاصه گروه نامیده میشود. در صورتی که در چنین سازمانی … باشد، گروه را گروه ابلی مینامند. تعادل بین مدول و گروه محقق است یعنی این دو سازمان در حقیقت متوازنند. حلقه سازمانی است که هم مدول است و هم گروه، یعنی اعمال سه گانه جمع و تفریق و ضرب در آن میسر است. هیئت اعداد که عمل چهار گانه اصلی حساب در آن میسر است. سازمانها به دو دسته اساسی، سازمانهای جبری (آنچه تاکنون اشاره شد سازمانهای جبری است) و سازمانهای منطقی تقسیم میشوند. برای هر سازمان منطقی محاسبه خاصی جبری وجود دارد که سازمان متناظر آن نامیده میشود. مثلا جبر بول اصولا محاسبه سازمان منطقی ارسطو (یعنی منطق دو ارزشی) است. اهمیت این سازمان در ریاضیات جدید بسیار است و اصولا ماشینهای الکترونیکی یا دستگاه های خودکار بر این سازمانها است. در تاریخ ریاضیات، چنانکه مشهور است، علم هندسه مقامی ممتاز دارد. تحول اندیشههای علمی در این زمینه با سابقهترین و کهن ترین داستانهای دانش ریاضی است. هندسه تالیفی، که با طرق اختصاصی هندسه، اشکال را مورد بحث قرار میدهد، قدیمیترین دستگاه هندسی است که شناخته شده است (اصولا اقلیدس معروف به تحریر اقلیدس). با بکار بستن اصولا محاسبات جبری در هندسه، دکارت به عنوان واضع هندسه تحلیلی شناخته شده است (مطالعات و تحقیقات خیام بی آنکه دستگاه معادلات جبری را به کار ببرد در واقع همان روش هندسه تحلیلی است که دکارت بعدها آن را به کار بسته است). و این روش سرانجام به وضع هندسه های تصویری و افین منجر شده است. بعدها این هندسهها با تحقیقات و مطالعات پونسله به صورت مستقل درامد و از نو روش هندسه تالیفی، محکمتر و منطقی تر از پیش به نام روش اصولی تأسیس گردید. کوششهای دامنه داری که در این روش به کار رفت کم کم از هندسه به سایر دیسیپلینهای ریاضی تعمیم یافت و مبانی سایر دانشهای ریاضی را به صورت اکسیوماتیک درآورد. و این امر هم اکنون نیز از طرف دانشمندان مورد تعقیب و تفحص است. با تأسیس روش اکسیوماتیک در ریاضی و استقلال مجدد هندسه از جبر، دانشمندان علم جبر از نو به تأسیس دانشی به نام جبر هندسه پرداختند که هم اکنون مورد بررسی و تکامل است. به کار بستن اصول محاسبات سازمانها و خصوصا سازمانهای منطقی در تعاریف و احکام هندسه کمک شایستهای به روشن شدن مبانی هندسه میکند. فی المثل در هندسه سه بعدی اقلیدسی نوقت را (مجموعه نقاط) با حروف بزرگ لاتین مینمائیم به قسمی که … افراد مختلف مجموعه نقاط باشند. همچنین خطوط را با حروف کوچک لاتین … نمایش میدهیم و سطوح را با حروف یونانی … اکنون حلقه سازمان بندی این عوامل را تعریف میکنیم. عمل جمع در این سازمان بین دو عامل از مجموعه کلی … چنین میشود: بین دو عامل از افراد مجموعه رابطهای که با علامت + مینمائیم تعریف میکنیم، بدین قسم که مجموع دو عامل از افراد مجموعه، عامل دیگری از افراد مجموعه با کمترین بعد است که شامل هر دو عامل باشد. مجموعه … که از زیر مجموعههای … تشکیل شده است برای هر زیر مجموعه دارای بعدی است که با اندیس زیر مجموعه نموده میشود، یعنی بعد … و صفر و بعد … و یک و بعد … دو میباشد. مجموع دو عامل از افراد مجموعه … عامل دیگری از مجموعه کلی … است به قسمی که عوامل مفروض هر دو بر آن قرار گیرند و این عامل دارای کمترین بعد باشد. مثلا اگر … و … دو عامل نامشخص از مجموعه … باشد (عوامل نامشخص را با حروف بزرگ لاتین نمایش میدهیم) … چنین تعریف میشود که … از زیر مجموعههای نقاط و خطوط و یا سطوح چنان انتخاب میشود که … و … بر روی آن باشد و اندیس … (اندیس نظیر زیر مجموعهای که … به آن متعلق هست) کمترین مقدار را داشته باشد. مثلا اگر عامل مانند … (خط) را با عامل مانند … (نقطه) جمع کنیم، چنین خواهیم داشت: … که اندیس … برابر یک و اندیس … برابر صفر و اندیس … برابر دو است. یعنی مجموع یک خط و یک نقطه صفحه ای است که بر آنها میگذرد. روشن است که اگر نقطه … بر روی خط … باشد، مجموع این دو مقدار همان خط … است چه در این صورت چون نقطه بر روی … است و جمیع نقاط … نیز بر روی خط میباشند، عامل با کمترین بعد که شامل هر دو است همان خط … است. در این حال … (بر خلاف جمع معمولی جبر، مجموع دو عامل یکی از آن عوامل است بی آنکه آن دیگری صفر باشد). برای تکمیل این اعمال محتاج به تعریف دیگری نیز میباشیم. مجموعه کلی …, (از نظر محتوا) را به … مینمائیم (یعنی تمام فضای هندسه که شامل جمیع نقاط و جمیع خطوط و جمیع سطوح باشد) و مجموعه خالی را که دارای هیچ فردی نیست، … مینمائم (که شبیه صفر علم حساب است)؛ افزون این دو مفهوم، عمل جامعه و عمل ضرب (که بعدا تعریف میشود) را تعمیم میدهد. در این صورت مشاهده میشود که مجموع دو خط …, اگر متقاطع یا متوازی نباشند، عامل … است، یعنی … و اگر این دو خط متقاطع یا متوازی باشند (یعنی در یک صفحه باشند)، مجموع آنها همان صفحه است که شامل آنها است، یعنی: … ضرب دو عامل از افراد مجموعه کلی … چنین تعریف میشود: حاصل ضرب دو عامل نامشخص … و … از افراد مجموعه … عامل دیگری از همان مجموعه است که در هر دو عامل … و … مشترک باشد و بیشترین بعد را دارا باشد. عمل ضرب را با علامت … نمایش میدهیم و چنین مینویسیم: … اندیس … بزرگترین اندیس است که در زیر مجموعهها شامل خاصیت مذکور در تعریف ضرب میباشد. مثلا حاصل ضرب دو خط متقاطع، نقطه فصل مشترک آنهاست: … و حاصل ضرب دو خط متنافر، مجموعه خالی … است: …
اکنون حل معادله … را در نظر میگیریم که در آن … نقطهای از فضا و … عاملی از اشکال (خط، سطح، نقطه) فضا و … مجموعه یا عامل خالی است. روشن است که یکی از جوابهای معادله همان عامل خطی … میباشد زیرا حاصل ضرب هر عاملی در عامل خالی همان عامل خالی خواهد بود؛ جواب دیگر همان نقطه … میباشد. چه شکلی فضایی … که شامل نقطه … باشد و کمترین بعد را دارا باشد همان نقطه … است، یعنی جوابهای مدله فوق عبارتند از: … اگر ملاحظه کنیم که عوامل طرف اول معادله مذکور اجزائ … میباشد، در خواهیم یافت که نقطه …, بجز خود نقطه و عامل خالی، جز دیگری ندارد، یعنی به عبارت دیگر، جز و کّل نقطه با هم برابرند. با کمی تعمق میتوان دریافت که این همان تعریف اقلیدس از نقطه میباشد.
مثال فوق مبین دانشی به نام جبر هندسه میباشد که بابی از منطق ریاضی است و برای مقاسه و تحول و تحویل تعاریف هندسی مورد ضرورت است.
سازمانهای اساسی ریاضیات جدید سازمانهای منطقی و جبری و توپولوژی میباشند که در مبانی کلیه مباحث ریاضی مورد حاجتند. آنالیز ریاضی دیسیپلن خاصی است که در توابع حقیقی و توابع مختلط (مراد توابع متغیر حقیقی یا متغیر مختلط میباشد) رویه های مختلف به کار میبندد. در اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم به توابعی برخورد شد که در فاصله اتصال، در هیچ نقطهای دارای مشتق نیستند و همچنین توابع متصلی وجود دارد که منحنی آنها اندرون یک مربع را کاملا میپوشانند. مفهوم مشتق و مفهوم بعد محتاج بررسی جدیدی گردید و در توپولوژی، نظریه بعد و نظریه مقیاس از نو عنوان گردید. وجود توابعی از متغیر حقیقی که کلیه نقاط منطق صفحه نقاط انفصال آنها میباشند و جمیع این نقاط، نقاط تجمع نیز میباشند، موجب تجدید نظر در مبانی آنالیز گردید. از سوی دیگر تحلیل توابع هارمونیک و انتگرالهای هارمونیک از یک طرف و نظریه تقارب سریهای فوریه از طرف دیگر بابی جدید در ریاضیات گشود که سرنجام منجر به اصولی کردن توابع پتانسیل گردید.
ریاضیات عملی خصوصا مباحث فیزیک ریاضی و نظری موجب پیدایش توابع مخصوصی گردید که جز مقادیر خاصی را قبول نمیکنند و به این طریق از تئوری تابع دیراک تا وضع نظریه توزیع قدمی بیشتر فاصله نماند. به کار بستن اصولا محاسبات احتمال در مسائل عملی و نظری منجر به پیدایش نظریه اخبار و اطلاع و پس از آن نظریه اشکال گردید که هم اکنون مورد تحقیق و بررسی میباشد. پیدایش توابع خاص در فیزیک همچون تابع دیراک، که اشاره شد، از سوی دیگر ریاضیدانان را به مساله جوابها و مقادیر ممتاز رهبری کرد که در فیزیک کوانتیک و فیزیک استاتیستیک مورد ضرورت است و سر انجام وضع نظریه … در حال معادلات دیفرانسیل فیزیک نظری دیسیپلن عام و دقیقی به وجود آورد که غالب مسائل را تحت یک روش طبقه بندی کرد.
در مسائل علمی و مشکلاتی که در علوم تجربی پیش میاید غالباً به دستورها و فرمولهای تجربی حاجت میافتد و غالباً تاکنون با بسط های متقارب توسط سلسلههای مناسب و تعیین حدود صحت فرمول، امور تجربی مورد نظر را مطالعه میکردند. به کار بستن روش و اصولا نظریه اشکال و غموض توابع مناسب برای بسط فرمولهای تجربی با محک تحلیلی قبلان تعیین میشوند و در نتیجه فرمول تجربی یا عملی با صحت اطمینان بخشی به دست میاید که مرز و حاشیه یقین در آنها گشاده تر است. ریاضیات عملی و محاسبات، فی المثل در جوابهای عددی دستگاههای جبری یا معادلات دیفرانسیل، به کمک ماشینهای محاسبه الکترونیکی یا ماشینهای الکتریکی ساده بسط و توسعه فراوان پذیرفته و از نظر صرفه جویی در وقت تکامل بیشتری یافته است. در مسائل عملی فنی و خصوصا در مسائل کیهانی تعیین حدود استقرار و پایانی مدارها و حرکات به کمک روشهای محاسبه دقیق معروف به طریقه لیاپونف پیشرفت شایانی کرده است. طریق انتگراسیون مجانبی (پوانکاره) راه کمال سپرده و مسائل بیشتری را در بر گرفته است. تعبیر هندسی معادلات دیفرانسیل (یا دستگاههای دیفرانسیل) با به کار بردن هندسه گسترده … روش جوابهای معادله را در فواصل دور پیش بینی میکند و با کمک توپولوژی کیفیت تغییر روش حرکات را در زمانهای دور و فواصل بعید ممکن میسازد. آنالیز ریاضی در تحت هماهنگی روشهای مختلفی که ذکر شد به پیشرفت شایانی نعل شده است و بسا از مسائل حل نشده اکنون در حوزه معلومات مقدماتی دانش ریاضی قرار گرفته اند. مفهوم گروههای محدود و نامحدود و به کار بستن آن در حوزههای آنالیز و هندسه از یک سؤ تعبیرهایی هم آهنگ برای مسائل مختلف ایجاد کرده و از سوی دیگر با انتقال حوزه مفروضات از زمینهای تنگتر به زمینهای گشاد تر بسیاری از مسائل را که در حوزه آنالیز امکان بررسی آنها موجود نبود در حوزه هندسه قابل حل میسازد. از این روست که جوابهای مختلف معادله شرودینگر به کمک گروه دورانهای فضاهای سه بعدی و چهار بعدی به سهولت تعیین میشوند. به کار بستن مفهوم التصاق در هندسه انفینی تزیمال و تعمیم مفهوم به وجود گروه های کلی و تناظر فضای پارامتر گروهها به فضای هندسه گروه، بسیاری از مسائل دیفرانسیل هندسه و مکانیک را با تعبیری جدید حل کرده است که قبل از وضع و بنیان این مفاهیم امکان نداشت. دسته خاصی از معادلات دیفرانسیل به این ترتیب تعیین میشوند که فی المثل در حل و تعیین جوابهای عمومی آنها کوادرتور به کار نمیرود. ترکیب مقادیر ممتاز با مفاهیم گروههای محدود در مکانیک کوانتا و فیزیک آماری و مسائل مربوط به الکترونها و سایر ذرات اصلی ماده با مواجهه با معادلات دیفرانسیل، نظریه اسپینورها را در فضای اقلیدسی بنیان مینهد که در نظریه نسبیّت به حل مسائل کمک شایان میکند. مقدمات فوق پی ریزی نظریه اپراتورها را در مکانیک و فیزیک ممکن میسازد و به هم آمیختن این مفهوم با مفهوم تبدیلات ریاضی توازی و همسانی برای مسائل کلی ریاضی و فیزیک عنوان میکند که با کمی تعمیم در مسائل علوم انسانی (همچون مسائل مربوط به حمل و نقل و جامعه شناسی و مسائل روانشناسی) نیز مورد استفاده قرار میگیرد. کم کم زیست شناسی مسائل مخصوص حیات را در حوزه دانش ریاضی مطرح میسازد و سازمان بندیهای مجرد ریاضی در این حوزه مجاهدات نیز به کار میاید. تاریخ علوم از دیر باز روشن ساخته است که کوشش و مجاهدت در حل برخی مسائل مورد نظر، مسائل دیگری را پیش میکشد که معماهای تازه مطرح میسازد. قرن بیستم نیز از این قانون کلی مستثنی نیست. در حل مسائل و معماهای دانش بشری با تمام توفیق و تکامل که حاصل شده است، مسائل دیگری عنوان شده اند که هنوز در حل آن قدمی برداشته نشده است و یا اگر رهروی قدمی چند پیشرفته است در نهایت تزلزل و شبهه راه پیمایی کرده است و هنوز معلوم نیست که گره معما چگونه گشوده خواهد شد. مساله حوزهها در فیزیک و بخصوص حوزه جاذبه از این قبیل موارد است. آیا جاذبه نیز مانند حوزه الکترو مغناطیسی روزی ذرهای خواهد شد و کوانتم جاذبه کشف خواهد شد؟ این رازی است که هنوز درباره آن نظری صائب اظهار نشده است. با این همه قرن بیستم یکی از قرون فعالیتهای ثمر بخش بشری بوده است و بیشک ادامه تحقیقاتی که در این قرن شروع شده است در قرن بعد رویه فنّ و تکنیک را به طور کلی دگرگون خواهد ساخت. همچنانکه در مقدمه مقال اشاره شد که ریاضیات هر عصر آینه تمدن آن عصر است، ریاضیات قرن بیستم آیئنه تحول افکار و تجدید اندیشه است. نتیجه حیرت بخش این تحول و تجدد که از هم اکنون کم یا بیش قابل تصور است، گشادن دروازههای آسمانهای ناشناخته، خواه آسمان جهان ماده و خواه آسمان جهان اندیشه است. یکان دوره دوازدهم
هیچ نظری موجود نیست:
ارسال یک نظر